Матричные вычисления в Mathcad


Статистика


Глава 12 Статистика
Глава 12. Статистика Статистика12.1. Статистические распределения12.1.1. Статистические функции12.1.2. Пример: нормальное (Гауссово) распределение12.2. Выборочные статистические характеристики12...
Статистика
СтатистикаMathcad имеет развитый аппарат работы с задачами математической статистики и обработки эксперимента. Во-первых, имеется большое количество встроенных специальных функций, позволяющих рас...
Статистические распределения
12.1. Статистические распределения Фундаментальным понятием математической статистики является понятие случайного числа (случайной величины). Согласно определению, случайная величина принимает то...
1 Статистические функции
12.1.1. Статистические функции В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности ра...
Плотность вероятности некоторых распределений
Рисунок 12.1. Плотность вероятности некоторых распределений  *cauchy(x,l,s) — распределение Коши (l — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба).  *chisq(x,d) — ?2 ("хи-ква...
Диалоговое окно Insert Function
Рисунок 12.2. Диалоговое окно Insert Function  ...
2 Пример нормальное (Гауссово) распределение
12.1.2. Пример: нормальное (Гауссово) распределение В теории вероятности доказано, что сумма различных независимых случайных слагаемых (независимо от их закона распределения) оказывается случайной...
Плотность вероятности нормальных распределений
Рисунок 12.3. Плотность вероятности нормальных распределений...
Нормальные функции распределения
Рисунок 12.4. Нормальные функции распределения Функция распределения F(x) (cumulative probability) — это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное х. Как следует...
Листинг 12 1 Вероятность того что х будет меньше 1 881
Листинг 12.1. Вероятность того, что х будет меньше 1.881...
Листинг 12 2 97% квантиль нормального распределения
Листинг 12.2. 97-% квантиль нормального распределения...
Листинг 12 3 Вероятность того что х будет больше 2
Листинг 12.3. Вероятность того, что х будет больше 2 ...
Листинг 12 4 Вероятность того что х будет находиться в интервале (2 3)
Листинг 12.4. Вероятность того, что х будет находиться в интервале (2,3)...
Листинг 12 5 Вероятность того что |x|<2
Листинг 12.5. Вероятность того, что |x|<2  Обратите внимание, что задачи двух последних листингов решаются двумя разными способами. Второй из них связан с еще одной встроенной функцией erf...
Листинг 12 6 Вероятность того что х будет в интервале (2 3)
Листинг 12.6. Вероятность того, что х будет в интервале (2,3)Если вы имеете дело с моделированием методами Монте-Карло, то в качестве генератора случайных чисел с нормальным законом распределения...
Листинг 12 7 Генерация двух векторов с нормальным законом распределения
Листинг 12.7. Генерация двух векторов с нормальным законом распределения...
Псевдослучайные числа с нормальным законом распределения (продолжение листинга 12 7)
Рисунок 12.5. Псевдослучайные числа с нормальным законом распределения (продолжение листинга 12.7)  ...
Выборочные статистические характеристики
12.2. Выборочные статистические характеристики В большинстве статистических расчетов вы имеете дело с выборками: либо со случайными данными, полученными в ходе какого-либо эксперимента (которые вы...
1 Гистограммы
12.2.1. Гистограммы Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбиваетс...
Листинг 12 8 Построение гистограммы
Листинг 12.8. Построение гистограммыДля анализа взято N=1000 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга). Далее определяются границы и...
Построение гистограммы (продолжение листинга 12 8)
Рисунок 12.6. Построение гистограммы (продолжение листинга 12.8) Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы, с тем чтобы она правильно аппрокси...
Листинг 12 9 Упрощенный вариант построения гистограммы
Листинг 12.9. Упрощенный вариант построения гистограммы...
График и матрица гистограммы (продолжение листинга 12 9)
Рисунок 12.7. График и матрица гистограммы (продолжение листинга 12.9) Примечание 2Примечание 2Для того чтобы назначить двумерному графику тип гистограммы, в диалоговом окне Formatting Currently S...
2 Среднее и дисперсия
12.2.2. Среднее и дисперсия В Mathcad имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик рядов случайных данных: mean(x) — выборочное среднее значение;  media...
Листинг 12 10 Расчет числовых характеристик случайного вектора
Листинг 12.10. Расчет числовых характеристик случайного вектораОпределение статистических характеристик случайных величин приведено в листинге 12.11 на еще одном примере обработки выборки малого о...
Листинг 12 11 К определению статических характеристик
Листинг 12.11. К определению статических характеристикИногда в статистике встречаются и иные функции, например, помимо арифметического среднего, применяются другие средние значения: gmean(x) — ге...
Листинг 12 12 Вычисление различных средних значений
Листинг 12.12. Вычисление различных средних значений  ...
3 Примеры Выборочная оценка дисперсии и среднего нормальной случайной величины
12.2.3. Примеры: Выборочная оценка дисперсии и среднего нормальной случайной величиныТиповые задачи математической статистики связаны с получением тех или иных интервальных и точечных оценок разли...
Листинг 12 13 Интервальное оценивание дисперсии
Листинг 12.13. Интервальное оценивание дисперсииУказанный интервал называется (1-a) доверительным интервалом. Обратите внимание на использование при решении данной задачи функции stdev (с прописно...
Листинг 12 14 Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной дисперсии
Листинг 12.14. Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной дисперсииВ последней строке листинга вычисляется истинность или ложность условия, выражающего решение задачи. Поскольку у...
К задаче проверки статистических гипотез (продолжение листинга 12 14)
Рисунок 12.8. К задаче проверки статистических гипотез (продолжение листинга 12.14) В листинге 12.15 приводится альтернативный способ проверки той же самой гипотезы, связанный с вычислением значен...
Листинг 12 15 Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 12 14)
Листинг 12.15. Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 12.14)Мы разобрали только два характерных примера статистических вычислений. Однако с помощью Mathcad легко решаются самые раз...
4 Корреляция
12.2.4. Корреляция Функции, устанавливающие связь между парами двух случайных векторов, называются ковариацией и корреляцией (или, по-другому, коэффициентом корреляции). Они различаются нормировко...
Листинг 12 16 Расчет ковариации и корреляции
Листинг 12.16. Расчет ковариации и корреляцииПримечание 1Примечание 1Как видно, полученное значение корреляции близко к нулю, т. е. псевдослучайные числа генерируются практически независимо. О том...
5 Новые функции корреляционного анализа сигналов
12.2.5. Новые функции корреляционного анализа сигналов В Mathcad 12 появились две функции, связанные с корреляционной обработкой сигналов и изображений:  correl(x,y) — вектор, представляющий...
6 Коэффициенты асимметрии и эксцесса
12.2.6. Коэффициенты асимметрии и эксцесса Коэффициент асимметрии задает степень асимметричности плотности вероятности относительно оси, проходящей через ее центр тяжести. Коэффициент асимметрии о...
Листинг 12 17 Расчет выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса
Листинг 12.17. Расчет выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса  ...
7 Статистические функции матричного аргумента
12.2.7. Статистические функции матричного аргумента Все рассмотренные примеры работы статистических функций относились к векторам, элементы которых были случайными числами. Но точно так же все эти...
Листинг 12 18 Вычисление среднего значения элементов матрицы
Листинг 12.18. Вычисление среднего значения элементов матрицы...
Листинг 12 19 Действие различных статистических функций на матрицу
Листинг 12.19. Действие различных статистических функций на матрицу="31.gif" > Примечание 1Примечание 1Некоторые статистические функции (например, вычисления ковариации) имеют два арг...
Листинг 12 20 Статистические функции нескольких аргументов
Листинг 12.20. Статистические функции нескольких аргументов  ...
Методы МонтеКарло
12.3. Методы Монте-Карло Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло, обязанные своим названием европейско...
1 Генерация псевдослучайных чисел
12.3.1. Генерация псевдослучайных чисел Как уже отмечалось (см. разд. 12.1.1), для генерации M-компонентного вектора независимых псевдослучайных чисел имеется ряд встроенных функций, реализующих р...
Модель сигнал/шум с равномерным законом распределения
Рисунок 12.9. Модель сигнал/шум с равномерным законом распределения...
Демонстрирует широко распространенный
Рисунок 12.9 демонстрирует широко распространенный прием моделирования, основанный на смеси некоторого полезного сигнала f(х) и шумовой компоненты а, что характерно для типичного физического экспе...
2 Генерация коррелированных выборок
12.3.2. Генерация коррелированных выборок До сих пор мы рассматривали наиболее простой случай применения генераторов независимых случайных чисел. В методах Монте-Карло часто требуется создавать сл...
Псевдослучайные числа с корреляцией R=0 4 (продолжение листинга"12 21) и R=0 9
Рисунок 12.10. Псевдослучайные числа с корреляцией R=0.4 (продолжение листинга"12.21) и R=0.9...
Листинг 12 21 Генерация попарно коррелированных случайных чисел
Листинг 12.21. Генерация попарно коррелированных случайных чиселРезультат действия программы для R=0.4 показан на Рисунок 12.10 (слева). Сравните полученную выборку с правым графиком, полученным д...
3 Моделирование случайного процесса
12.3.3. Моделирование случайного процесса Встроенные функции для генерации случайных чисел создают выборку из случайных данных Ai. Часто требуется создать непрерывную или дискретную случайную функ...
Листинг 12 22 Генерация псевдослучайного процесса
Листинг 12.22. Генерация псевдослучайного процессаВ первых строках листинга 12.22 определено количество N независимых случайных чисел, которые будут впоследствии сгенерированы, и радиус временной...
Псевдослучайный процесс (продолжение листинга 12 22)
Рисунок 12.11. Псевдослучайный процесс (продолжение листинга 12.22) К случайным процессам, сгенерированным таким способом, как и к данным эксперимента, применяются любые статистические методы обра...
Листинг 12 23 Дискретизация случайного
Листинг 12.23. Дискретизация случайного процесса и вычисление корреляционной функции (продолжение листинга 12.19)Дискретизация интервала (0,Tmах) для случайного процесса A(t) произведена с различн...
Корреляционная функция (продолжение листингов 12 22—12 23)
Рисунок 12.12. Корреляционная функция (продолжение листингов 12.22—12.23) Примечание 2Примечание 2Внимательному читателю предлагается самостоятельно ответить на вопрос: почему при таком расчете ко...
4 Пример огибающая и фаза нормального случайного процесса
12.3.4. Пример: огибающая и фаза нормального случайного процессаЗавершим разговор о моделировании случайных процессов примером, часто встречающимся в задачах статистической радиофизики. Рассмотрим...
Листинг 12 25 содержит суммирование
Листинг 12.25 содержит суммирование полученных шумовых компонент с составляющими гармонического сигнала и выдает в качестве результата функции E(t) и ф(t) (они показаны на Рисунок 12.14)....
Листинг 12 14 Квадратурные составляющие нормального случайного процесса
Листинг 12.14. Квадратурные составляющие нормального случайного процесса...
Квадратурные составляющие случайного процесса (продолжение листинга 12 24)
Рисунок 12.13. Квадратурные составляющие случайного процесса (продолжение листинга 12.24)...
Листинг 12 25 Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листинга 12 24)
Листинг 12.25. Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листинга 12.24)...
Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листингов 12 24—25)
Рисунок 12.14. Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листингов 12.24—25)  ...








Начало    


Книжный магазин