Матричные вычисления в Mathcad


Дифференциальные уравнения в частных производных


Глава 11 Дифференциальные уравнения в частных производных
Глава 11. Дифференциальные уравнения в частных производных Дифференциальные уравнения в частных производных11.1. О постановке задач11.1.1. Классификация уравнений в частных производных11.1.2. Пр...
Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математ...
О постановке задач
11.1.О постановке задач Остановимся сначала на общей классификации уравнений в частных производных, принятой в математике, а затем более детально поговорим о постановочной части соответствующих за...
1 Классификация уравнений в частных производных
11.1.1. Классификация уравнений в частных производных Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необход...
2 Пример уравнение диффузии тепла
11.1.2. Пример: уравнение диффузии теплаНа протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение...
Физическая модель описываемая двумерным уравнением теплопроводности
Рисунок 11.1. Физическая модель, описываемая двумерным уравнением теплопроводности Для того чтобы правильно поставить краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности, следует определить с...
Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности (см листинг 11 7 ниже)
Рисунок 11.2. Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности (см. листинг 11.7 ниже) Как несложно сообразить, если искомая функция не зависит от времени, то частная производная по вре...
Физическая модель одномерного уравнения теплопроводности
Рисунок 11.3. Физическая модель одномерного уравнения теплопроводности...
Решение одномерного уравнения теплопроводности (см листинг 11 1 ниже)
Рисунок 11.4. Решение одномерного уравнения теплопроводности (см. листинг 11.1 ниже) Линейное и нелинейное уравнения Если присмотреться к уравнению диффузии тепла внимательнее, то можно условно ра...
Численное решение обратного уравнения
Рисунок 11.5. Численное решение обратного уравнения теплопроводности дает совершенно нефизичную картину динамики температуры (см. листинг 11.2 ниже с параметром D=-1)  ...
Разностные схемы
11.2. Разностные схемы Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (11.3) и на его примере разберем наиболее часто использующийся для численного решения уравнений в частных производных метод...
1 Явная схема Эйлера
11.2.1. Явная схема Эйлера Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительн...
Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Рисунок 11.6. Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности Множители для каждого из значений сеточной функции в узлах шаблона, соответствующие разностному уравнению (11.9), прив...
Листинг 11 1 Явная схема для линейного уравнения теплопроводности
Листинг 11.1. Явная схема для линейного уравнения теплопроводностиНачальное распределение температуры вдоль расчетной области и решение для двух моментов времени показано на Рисунок 11.7 сплошной,...
Решение линейного уравнения теплопроводности (продолжение листинга 11 1)
Рисунок 11.7. Решение линейного уравнения теплопроводности (продолжение листинга 11.1) Примечание 2Примечание 2Несколько забегая вперед, заметим, что показанное на Рисунок 11.7 решение и соответст...
Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)
Рисунок 11.8. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)...
Решение уравнения теплопроводности
Рисунок 11.9. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии (режим локализации горения) Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейным...
Численное решение уравнения теплопроводности
Рисунок 11.10. Численное решение уравнения теплопроводности при помощи явной схемы Эйлера (см. листинг 11.1 ниже с временным шагом t=0.0015) Вместо ожидаемого решения получаются совершенно неожида...
2 Неявная схема Эйлера
11.2.2. Неявная схема Эйлера В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно-устойчивой (т. е. не выдающей "разболтки" ни при каких значениях коэффициента Куранта). Однако ц...
Шаблон неявной схемы для уравнения теплопроводности
Рисунок 11.11. Шаблон неявной схемы для уравнения теплопроводности Очень важно, что если само уравнение теплопроводности линейно, то с в левой части разностного уравнения является константой, а ф...
Решение линейного уравнения теплопроводности
Рисунок 11.12. Решение линейного уравнения теплопроводности при помощи неявной схемы на первом слое по времени (листинг 11.2)...
Листинг 11 2 Неявная схема для линейного уравнения теплопроводности
Листинг 11.2. Неявная схема для линейного уравнения теплопроводностиАлгоритм прогонки Приведем в данном разделе описание чрезвычайно популярного алгоритма реализации неявных разностных схем, котор...
Матрица системы линейных разностных уравнений для неявной схемы (листинг 11 2 для M=10)
Рисунок 11.13. Матрица системы линейных разностных уравнений для неявной схемы (листинг 11.2 для M=10) Для отыскания решения линейных систем алгебраических уравнений имеется чрезвычайно эффективны...
Листинг 11 3 Алгоритм прогонки (продолжение листинга 11 2)
Листинг 11.3. Алгоритм прогонки (продолжение листинга 11.2)  ...
3 О возможности решения многомерных уравнений
11.2.3.О возможности решения многомерных уравнений Все, что было сказано до сих пор, касалось исключительно способов решения одномерных (в смысле пространственных координат) уравнений. И алгоритмы...
Встроенные функции для решения уравнений в частных производных
11.3. Встроенные функции для решения уравнений в частных производных Как видно из предыдущего раздела, с уравнениями в частных производных вполне можно справиться и не прибегая к специфическим сре...
1 Параболические и гиперболические уравнения
11.3.1. Параболические и гиперболические уравнения Разработчики впервые применили дополнительные встроенные функции для решения параболических и гиперболических уравнений в частных производных в в...
Листинг 11 4 Решение одномерного уравнения теплопроводности
Листинг 11.4. Решение одномерного уравнения теплопроводностиДля корректного использования функции pdesolve предварительно, после ключевого слова Given, следует записать само уравнение и граничные...
Решение уравнения диффузии тепла при помощи встроенной функции pdesoдve (листинг 11 4)
Рисунок 11.14. Решение уравнения диффузии тепла при помощи встроенной функции pdesoдve (листинг 11.4) Пример: волновое уравнение Приведем еще один пример применения функции pdesoive для решения ур...
Листинг 11 5 Решение волнового уравнения
Листинг 11.5. Решение волнового уравнения...
Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11 5)
Рисунок 11.15. Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11.5) Встроенная функция numolАльтернативный вариант решения дифференциальных уравнений в частных производных заключается в примене...
Листинг 11 6 Решение волнового уравнения при помощи функции numol
Листинг 11.6. Решение волнового уравнения при помощи функции numolКак вы видите, функция numol имеет еще большее число аргументов, нежели pdesolve, и позволяет автоматизировать применение метода с...
Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11 6)
Рисунок 11.16. Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11.6) Именно в целях визуализации решения параболических и гиперболических уравнений в частных производных использование функции nu...
2 Эллиптические уравнения
11.3.2. Эллиптические уравнения Решение эллиптических уравнений в частных производных реализовано только для единственного типа задач — двумерного уравнения Пуассона. Это уравнение содержит вторые...
Листинг 11 7 содержит пример использования
Листинг 11.7 содержит пример использования функции multigrid для расчета краевой задачи на области 33х33 точки и точечным источником тепла в месте, задаваемом координатами (15,20) внутри этой обла...
Листинг 11 7 Решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями
Листинг 11.7.Решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиямиВ первой строке листинга задается значение м=32, в двух следующих строках создается матрица правой части уравнения Пуассона,...
График поверхности решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11 7)
Рисунок 11.17. График поверхности решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11.7)...
График линий уровня решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11 7)
Рисунок 11.18. График линий уровня решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11.7) Уравнение Пуассона с произвольными граничными условиями В более сложных случаях, например, для решения кра...
Листинг 11 8 Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax
Листинг 11.8. Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax Первые три строки имеют тот же смысл, что и в предыдущем листинге. Только вместо одного источника тепла взято их другое распределен...
Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax (продолжение листинга 11 8)
Рисунок 11.19. Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax (продолжение листинга 11.8) Разностная схема для решения уравнения Пуассона Несмотря на отсутствие сведений в справочной системе M...
Шаблон аппроксимации уравнения Пуассона "крест"
Рисунок 11.20. Шаблон аппроксимации уравнения Пуассона "крест" Решение уравнения диффузии тепла при помощи функции relax Приведем пример применения встроенной функции relax для решения д...
Листинг 11 9 Решение уравнения теплопроводности при помощи функции relax
Листинг 11.9. Решение уравнения теплопроводности при помощи функции relaxРезультат действия программы листинга 11.9 показан на Рисунок 11.21 в виде трехмерной поверхности. Если сравнить Рисунок 11...
Решение уравнения теплопроводности с помощью функции relax (продолжение листинга 11 9)
Рисунок 11.21. Решение уравнения теплопроводности с помощью функции relax (продолжение листинга 11.9)  ...








Начало